Estudo comparativo entre métodos Runge-Kutta explícito, implícito e IMEX com preservação de estabilidade não linear

Abstract

Diversos problemas complexos em mecânica dos fluidos requerem soluções com altas ordens de precisão. Na tentativa de se aumentar a precisão dos esquemas numéricos empregados acabase, geralmente, causando perda de estabilidade tanto linear quando não linear. Nesse contexto, os métodos Strong Stability Preserving (SSP) são métodos capazes de alcançar altas ordens de precisão temporal enquanto mantém a forte estabilidade do método avançado de Euler que dá origem ao esquema numérico. Essa metodologia é desenvolvida basicamente reescrevendo-se os métodos multiestágio como uma combinação de passos do método de Euler e limitando-se o tamanho do passo no tempo empregado. Atualmente, estuda-se o desenvolvimento de métodos SSP com maior eficiência, i.e. com maiores coeficientes. Apesar da grande popularidade que essa classe de métodos tem conquistado, algumas questões permanecem sem resposta. A forte estabilidade linear dos métodos implícitos possibilita o emprego de grandes passos no tempo, o que representa uma vantagem significante em comparação aos métodos explícitos. Entretanto, a limitação não linear do passo no tempo imposta pela metodologia SSP pode tornar os métodos implícitos comparativamente ineficientes. Portanto, o presente estudo tem por objetivo principal avaliar comparativamente a eficiência computacional dos métodos SSP implícitos, explícitos e híbridos implícito-explícito na tentativa de descobrir qual metodologia apresenta maior eficiência numérica frente a limitação não linear de passo no tempo. Todos os três esquemas implementados são de segunda ordem e os termos espaciais foram derivados através da técnica limitadora de fluxo não linear de segunda ordem e foram testados em sete casos clássicos da mecânica dos fluidos.